Scienze & Tecnologia

Il paradosso di Monty Hall

di Angelo Nardone

Siamo a “Let’s Make a Deal”, il famoso gioco a quiz televisivo condotto da Monty Hall

Monty Hall: Una delle tre scatole chiamate A, B e C contiene le chiavi di quella nuova Lincoln Continental (indica una macchina). Le altre due sono vuote. Se sceglie la scatola con la chiave, vince la macchina.
Concorrente: Urca!
Monty Hall: Scelga una scatola.
Concorrente: Prendo la B.
Monty Hall: Ora la A e la C sono sul tavolo, ed ecco qui la B (il concorrente la afferra con forza). Magari le chiavi sono proprio lì! Le offro cento dollari per la scatola.
Concorrente: No grazie.
Monty Hall: Facciamo duecento.
Concorrente: No.
Pubblico: NOOOO!
Monty Hall: Si ricordi che la probabilità che la sua scatola contenga la chiave è una su tre, mentre la probabilità che sia vuota sono due e tre. Le offro 500 dollari.
Pubblico: NOOOO!
Concorrente: No, penso proprio che terrò questa scatola.
Monty Hall: Guardi le farò un favore e aprirò una delle altre scatole rimaste sul tavolo (apre la A). È vuota! (Pubblico: applauso). Ora o la scatola C o la sua, la B, contiene le chiavi della macchina. Dato che ci sono due scatole, ora la probabilità che la sua scatola contenga la sua chiave è una su due, le offro mille dollari per la sua scatola.

UN MOMENTO!

Monty ha ragione? Il concorrente sapeva fin dall’inizio che almeno una delle due scatole sul tavolo era vuota. Ora sa che è la scatola A. Questo cambia la probabilità che la chiave sia nella scatola B, da una su tre a una su due? Una delle scatole sul tavolo deve pur essere vuota. Monty ha fatto veramente un favore al concorrente mostrandogli quale delle due scatole è vuota? La probabilità di vincere la macchina è una su due o una su tre?

Concorrente: Scambio la mia scatola B con la scatola C sul tavolo.
Monty Hall: Che stranezza!

SUGGERIMENTO: Il concorrente sa quello che fa!

Steve Selvin                                                                                                   Scuola di Salute Pubblica                                                                                   University of California                                                                                                             Berkeley, CA 94720

Con questo articolo, scritto da Steve Selvin e pubblicato nel 1975 sulla rivista scientifica “The American Statistician”, si presentava per la prima volta al pubblico il problema, poi passato alla storia come paradosso di Monty Hall. Di certo Selvin non avrebbe mai immaginato che questo articoletto avrebbe avuto una tale influenza sui lettori, tanto da scatenare un’immediata valanga di lettere alla rivista, spedite da insigni matematici impazienti di dimostrare il suo errore. Insomma, dopo la pubblicazione dell’articolo, Selvin fu attaccato da una folla inferocita, e poco ci mancava per avere lanci di pomodoro e uova marce! Ora, quindi, la domanda sorge spontanea: chi aveva realmente ragione? Conveniva veramente al concorrente cambiare scatola come sosteneva Selvin, oppure non sarebbe cambiato nulla?

Nell’articolo appena citato, Selvin omette una parte cruciale del problema (la cui rilevanza sarà chiara tra poco). Non dice, cioè, che Monty Hall sa in quale scatola sta la chiave, e quindi può aprire la scatola sul tavolo che è vuota. Questo, che può sembrare un particolare irrilevante (d’altra parte, com’è possibile che la probabilità dal punto di vista del concorrente cambi?) risulta invece essere il punto cruciale: tutta la soluzione si basa su cosa sa Monty Hall! Il problema infatti ci dice che proprio per questo fattore indispensabile, il concorrente dovrebbe sempre scambiare la propria scatola, così da raddoppiare la propria probabilità di vincita da una su tre a due su tre. Ma come può essere? Naturalmente, quasi tutte le persone a cui è stato proposta questa possibilità avranno pensato ci sia un trucco da qualche parte. O almeno, perché non mantenere la scelta iniziale? Non dovrebbe fare alcuna differenza cambiare o meno? Tutto ciò appare piuttosto confuso, e si può capire come anche dei matematici professionisti si siano sbagliati. Cerchiamo ora di spiegare il paradosso in maniera semplice.

Facciamo un passo indietro e ricordiamo che il concorrente aveva scelto la scatola B. Monty Hall, che sa dove sta la macchina, apre una delle altre scatole e mostra che è vuota, offrendo al concorrente la possibilità di scambiare la sua scatola con la rimanente. Analizziamo ora il caso in cui il concorrente tenga la scatola B: la probabilità rimane la stessa, perché

  • Se le chiavi sono dentro ad A, la scatola C viene aperta, ma tenendo B: PERDE.
  • Se le chiavi sono dentro a B, non importa quale scatola viene aperta, alla fine tenendo B: VINCE.
  • Se le chiavi sono dentro a C, la scatola A viene aperta, ma tenendo B: PERDE.

Quindi vediamo che c’è una probabilità su tre di vincere la macchina tenendo la scatola B. Ora, però, consideriamo l’opzione di cambiare la nostra scelta:

  • Se le chiavi sono dentro ad A, la scatola C viene aperta, e cambiando da B ad A: VINCE.
  • Se le chiavi sono dentro a B, non importa quale scatola venga aperta, ma cambiando la scelta iniziale: PERDE.
  • Se le chiavi sono dentro a C, la scatola A viene aperta, e cambiando la scelta da B a C: VINCE.

Vediamo ora che le probabilità di vincere aumentano, anzi raddoppiano, passando da una su tre a due su tre. Ecco spiegato il motivo per cui al concorrente conviene sempre cambiare la scelta iniziale, nonostante possa sembrare che non cambi nulla. Questa, comunque, non è una dimostrazione in senso stretto, ma piuttosto un modo di rendere la soluzione più facile da accettare. Nel caso in cui non siate ancora convinti, però, farò un altro piccolo esempio.

Consideriamo il caso in cui si abbiano non solo tre scatole, ma mille: in una saranno presenti le chiavi della macchina, mentre le altre 999 saranno vuote. Ne scegliete una a caso, facciamo la numero 666 (perché a voi piace scegliere numeri particolari). Naturalmente potete avere scelto proprio quella per un’infinità di ragioni, ma resta il fatto che, in assenza di abilità ultra-sensoriali, avete una probabilità su mille di avere scelto quella giusta. Supponiamo che ora Monty Hall, che è onnipresente e sa dove sono le chiavi, apra le altre scatole, tutte vuote, eccetto la vostra e la numero 999 (che curiosità!). A questo punto tenete la vostra o cambiate?

Non vi viene il dubbio che c’è qualcosa di sospetto nel fatto che il presentatore ha lasciato chiusa proprio quella scatola lì? Che magari lui ha qualche informazione che voi non avevate quando avete scelto la vostra scatola?  Ricordate, lui sa dove sono le chiavi. Vi osserva scegliere una scatola a caso, che con grandissima probabilità sarà vuota. Poi apre 998 scatole vuote. Non vi sentireste irrimediabilmente attirati dalla scatola ancora chiusa? Naturalmente si, e avreste ragione: le chiavi sono quasi sicuramente dentro la scatola 999, deliberatamente lasciata chiusa da Monty. Questo è lo stesso principio che vale anche con tre sole scatole ed è il motivo per cui, anche se può sembrare controintuitivo, le probabilità di vincita cambiando scatola sono maggiori.

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...