Scienze & Tecnologia

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… i numeri primi: gli atomi della matematica

di Angelo Nardone

Credo che tutti voi abbiate già sentito parlare di numeri primi. Non credo, invece, immaginiate quanto possano essere importanti per la matematica questi numeri.

Ma per prima cosa andiamo a definire i numeri primi. Un numero naturale maggiore di 1 si dice primo quando è divisibile solamente per 1 e per se stesso. Gli altri numeri, che sono detti composti, si possono ricavare dal prodotto o dalla somma di più numeri primi. Esiste anche una congettura (un’affermazione ritenuta probabilmente vera, ma non dimostrata) che afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

Già da queste poche righe si può evincere perché i primi siano così importanti per l’aritmetica. Non c’è da sorprendersi, quindi, se vengono considerati gli atomi dell’aritmetica.

La magia dei primi

« Ci sono alcuni misteri che la mente umana non penetrerà mai. Per convincercene non dobbiamo far altro che gettare un’occhiata alle tavole dei numeri primi. Ci accorgeremo che non vi regna né ordine né legge » [Eulero]

Di fronte a sequenze numeriche di questo tipo

1,3,6,10,15…

1,1,2,3,5,8,13…

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30…

sono molte le domande che balzano alla mente matematica. Qual è la regola che sta dietro alla creazione di ciascuna sequenza? È possibile predire quale sarà il numero successivo? È possibile trovare una formula che produca il centesimo numero della sequenza senza che si debbano calcolare i 99 che lo precedono? Per la maggior parte delle successioni numeriche tutto questo è possibile. Per esempio, analizzando la prima delle sequenze numeriche sopra riportate, risulta evidente l’ordine con cui essa avanza: l’N-esimo numero della successione è pari alla somma dei primi N numeri secondo la formula PN=1+2+3+…+N. Applicando questa regola si può ricostruire l’intera successione. Anche i numeri primi rappresentano una sequenza numerica, che inizia così: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Dunque, penserete voi, cosa c’è di particolare in questo? Semplice. Il paradosso di questa successione è che non sembra seguire nessun ordine. Per farcene un’idea basta guardare il grafico:

ImmagineLa scalinata dei primi. Il grafico rappresenta il numero cumulativo dei numeri primi che si incontrano contando da 1 a 100.

Già su questo piccolo ordine di grandezza il risultato è una scalinata nervosa, in cui è difficile prevedere quanto si debba aspettare prima di incontrare il gradino successivo. Nei secoli le più grandi menti matematiche hanno provato a risolvere l’enigma di questa sequenza, senza però riuscirci. C’è chi invece in questo disordine ha visto un’armonia. Ma non un’armonia qualsiasi: per alcuni i primi si susseguirebbero con un ordine e un equilibrio preciso, voluto dalla natura e quindi impossibile per noi uomini comprenderlo. Ma addentrarsi nelle varie teorie che negli anni sono state fatte per risolvere questa sequenza ci porterebbe fuori strada rispetto agli obbiettivi di questa rubrica (oltre ad essere un percorso particolarmente complicato). Piuttosto, può essere interessante sottolineare come nell’arco della storia la magia dei numeri primi abbia contagiato non solo i matematici.

I primi in arte e letteratura

« Non lo sentite, non lo vedete? Odo io soltanto questa melodia che così maravigliosa e sommessa… » [Richard Wagner, Tristano ed Isolda]

Nel tempo i numeri primi hanno influenzato molti artisti e scrittori. Di libri in cui i numeri primi hanno un ruolo, che può essere anche marginale, ce ne sono a bizzeffe. Tra questi alcuni sono più conosciuti di altri. Un esempio tra i più noti è il libro La solitudine dei numeri primi di Paolo Giordano, vincitore del Premio Strega nel 2008. Meno famoso è Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte, di Mark Haddon, in cui la numerazione dei capitoli segue la successione dei primi. Invece, volendo fare un salto indietro nel tempo, nel romanzo di fantascienza di Carl Sagan Contact (ma anche nella sua versione cinematografica) i numeri primi vengono utilizzati dagli alieni per comunicare con la terra. Ellie Arroway, la protagonista del libro, lavora al SETI, il programma internazionale per la ricerca di segnali di vita intelligente provenienti dallo spazio. Una notte, i radiotelescopi che sono rivolti in direzione di Vega captano degli strani impulsi che emergono dal rumore di fondo. Ellie riconosce all’istante il ritmo di quei segnali radio. A due battiti segue una pausa, poi tre battiti, cinque, sette, undici, tredici, diciassette e così via, in una riproduzione di tutti i numeri primi fino a 907. Dopodiché la sequenza ricomincia da capo. Ellie è convinta che solo una forma di vita intelligente possa generare quel ritmo.

« È difficile immaginare un plasma irradiante che invia una serie regolare di segnali matematici come questa. I numeri primi servono per attirare la nostra attenzione »

Ma anche in musica possiamo ritrovare i numeri primi. Il compositore francese Olivier Messiaen era ossessionato da tali numeri, tanto che li utilizzò per creare musica non metrica. Per esempio, in opere come La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de rythme (1949-50) impiegò simultaneamente motivi la cui lunghezza è un numero primo per creare ritmi imprevedibili. Oppure nell’apertura della composizione Quatuor pour la fin du temps Messiaen utilizzò i numeri primi con l’obiettivo di dare l’idea dell’eternità. Infatti accostò un tema di 17 note ad un tema di 29 note. Essendo primi entrambi i numeri, quindi non avendo divisori in comune, i temi si ripetono insieme solo dopo 17×29 = 493 note.

I primi in natura

« Un’equazione non significa nulla per me se non esprime un pensiero di Dio » [Srinivasa Ramanujan]

La natura non smette mai di sorprenderci, si sa. Continua a stupirci con i suoi colori, le sue forme… e anche con la matematica! Eh, sì, perché i numeri si ripetono in natura con una frequenza che non possiamo nemmeno immaginare. Tra di essi, naturalmente, ci sono anche i numeri primi. Uno tra gli esempi più eclatanti dell’unione dei numeri primi con la biologia lo forniscono le cicale della famiglia Magicicada, che si riproducono una volta ogni tredici o diciassette anni. Infatti le larve di Magicicada septendecim sopravvivono sottoterra per ben diciassette anni mentre quelle di Magicicada tredecim per tredici anni. Nei luoghi dove vivono (prevalentemente nel Nord America), quindi, se in un anno si sente il forte canto delle cicale probabilmente quello dopo il bosco sarà silenzioso. Si dovranno aspettare tredici o diciassette anni per riascoltarlo. Da noi questo fenomeno non si verifica, poiché il genere Magicada non è presente in Europa.

Ma perché le cicale devono aspettare tredici o diciassette anni sottoterra prima di riprodursi? E come mai parliamo di numeri primi? Ebbene, le cicale sfruttano di nuovo la proprietà dei primi di essere indivisibili. Infatti per sfuggire al loro predatore, che aveva un ciclo riproduttivo di n anni, sono state selezionate per ricomparire ogni diciassette o tredici anni. Essendo questi numeri primi, le cicale si sarebbero incontrate con il loro predatore ogni 17×n o 13×n anni. Evidentemente un numero troppo grande per il predatore, che così nel tempo si è estinto. Ma c’è di più. Ci sono boschi in cui la Magicicada septendecim e la Magicicada tredecim coesistono. Ora possiamo capire perché le prime sono sincronizzate con il numero diciassette mentre le seconde con il tredici. Così, infatti, le due si incontreranno raramente (per evitare competizione) con una probabilità di 1/221 anni (17×13).

Questi alcuni esempi di come i numeri primi si presentano in natura, in arte, in letteratura. Nel prossimo articolo parlerò, invece, dell’utilità pratica dei primi al giorno d’oggi e di come questi siano fondamentali per il commercio in rete.

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